مجلة جامعة الزيتونة الدولية للنشر العلمي مجلة علمية، محكمة، شهرية، مفتوحة الوصول
Abstract:
This study develops and analyzes an advanced mathematical framework for modeling breast cancer dynamics based on a singularly perturbed logistic delay differential equation with multiple discrete time delays. The proposed model captures essential biological processes governing tumor progression, including delayed cellular proliferation, immune response activation, and treatment effects, thereby improving the realism of classical tumor growth models.
Using singular perturbation theory, the system is reduced to a quasi-steady-state discrete form, enabling a clear separation between fast transient dynamics and long-term tumor evolution. The analytical investigation focuses on equilibrium points and their local stability through characteristic equations derived from linearization. Stability conditions are rigorously established, and parameter thresholds governing tumor-free and positive equilibrium states are identified.
Furthermore, bifurcation analysis reveals the presence of Hopf bifurcation, indicating the emergence of oscillatory tumor behavior under specific parameter regimes. This highlights the critical role of time delays and treatment timing in shaping tumor dynamics. The discretized version of the model is also examined, confirming consistency between continuous and discrete representations.
To validate the theoretical findings, numerical simulations are conducted, including bifurcation diagrams and Lyapunov characteristic exponent analysis. Results demonstrate complex dynamical behaviors such as stability switching, oscillations, and potential chaotic responses, reflecting clinically observed tumor variability.
Importantly, the model emphasizes that effective cancer control depends not only on treatment intensity but also on its timing relative to tumor growth kinetics. These findings provide valuable insights for optimizing therapeutic strategies and underscore the importance of early intervention. Overall, the proposed framework offers a robust and biologically interpretable tool for studying multiscale tumor dynamics in breast cancer.
Key word: Breast cancer, Mathematical model, Delay difference equation, Stability analysis, Hopf bifurcation.
الملخص
تُطوّر هذه الدراسة إطارًا رياضيًّا متقدمًا لنمذجة ديناميكيات سرطان الثدي وتحلّله، وذلك استنادًا إلى معادلة تفاضلية تأخرية لوجستية مضطربة بشكل فردي (بأسلوب الاضطراب المفرد) ومزودة بعدة تأخيرات زمنية منفصلة. يلتقط النموذج المقترح العمليات البيولوجية الأساسية التي تتحكم في تطور الورم، بما في ذلك التكاثر الخلوي المتأخر، وتفعيل الاستجابة المناعية، وتأثيرات العلاج، مما يحسّن واقعية النماذج الكلاسيكية لنمو الورم.
باستخدام نظرية الاضطراب المفرد، يتم اختزال النظام إلى شكل متقطع شبه ثابت الحالة، مما يتيح فصلًا واضحًا بين الديناميكيات العابرة السريعة والتطور الطويل الأجل للورم. يركز التحليل النظري على نقاط التوازن واستقرارها المحلي من خلال معادلات مميزة مستمدة من الاستخطاط (الخطية). يتم تحديد شروط الاستقرار بشكل دقيق، وتعيين العتبات المُعاملية التي تُحكم حالات التوازن الخالي من الورم والتوازن الإيجابي.
علاوة على ذلك، يكشف تحليل التشعب عن وجود تشعب هوبف، مما يشير إلى ظهور سلوك ورمي متذبذب في ظل أنظمة محددة للمُعامِلات. وهذا يسلط الضوء على الدور الحاسم للتأخيرات الزمنية وتوقيت العلاج في تشكيل ديناميكيات الورم. كما يتم فحص النسخة المتقطعة (المنفصلة) من النموذج، مما يؤكد الاتساق بين التمثيلين المستمر والمتقطع.
للتحقق من النتائج النظرية، تُجرى محاكاة عددية، تتضمن مخططات التشعب وتحليل الأس الليابونوفي المميز. تُظهر النتائج سلوكيات ديناميكية معقدة مثل تبديل الاستقرار، والتذبذبات، واستجابات فوضوية محتملة، مما يعكس التباين الورميّ الملاحظ سريريًا.
الأهم من ذلك، يؤكد النموذج أن السيطرة الفعالة على السرطان لا تعتمد فقط على كثافة العلاج، بل أيضًا على توقيته بالنسبة إلى حركية نمو الورم. توفّر هذه النتائج رؤى قيّمة لتحسين الاستراتيجيات العلاجية، وتؤكد على أهمية التدخل المبكر. بشكل عام، يُقدّم الإطار المقترح أداة قوية وقابلة للتفسير بيولوجيًا لدراسة ديناميكيات الورم متعددة المقاييس في سرطان الثدي.
الكلمات المفتاحية: سرطان الثدي، نموذج رياضي، معادلة فرق تأخيرية، تحليل الاستقرار، تشعب
BY :
F. M. Atteytallah¹, N. A. Elabd¹*
¹ Department of Mathematics, Faculty of Science, University of Darna, Libya
